Các phương trình toán thường được biểu diễn một cách khô khan, khó hiểu và phức tạp nhưng giá trị của chúng đối với nhân loại vô cùng to lớn.
Định lý Pythagoras
Định lý Pythagoras được sử dụng để xác định vị trí tương đối trong định vị vệ tinh (GPS).
Định lý này phát biểu rằng trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phường của các cạnh còn lại. Dù định lý này được cho thuộc về Pythagoras, nhưng có bằng chứng chỉ ra Euclid mới là người đầu tiên chứng minh thành công. Thậm chí, nó có thể được người Babylon biết đến từ cách đây hơn 1.000 năm, trước cả khi Pythoragas phát hiện ra, theo Business Insider.
Phương trình về mối quan hệ giữa cạnh huyền và các cạnh còn lại trong tam giác vuông là cốt lõi của nhiều vấn đề trong hình học, liên kết hình học với đại số, và là nền tảng của lượng giác. Nếu không có nó, những khảo sát chính xác, kỹ thuật vẽ bản đồ, và việc định hướng sẽ không thể thực hiện được.
Trong khoa học hiện đại, định lý Pythagoras được sử dụng để xác định vị trí tương đối trong định vị vệ tinh (GPS).
Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton
Định luật của Newton rất quan trọng vì nó mô tả cách lực hấp dẫn hoạt động ở mọi nơi.
Định luật này cho phép con người tính được lực hấp dẫn giữa hai vật bất kỳ, được Isaac Newton phát triển dựa trên công trình thiên văn và toán học trước đó của nhà vật lý Johannes Kepler. Nhiều khả năng ông cũng tiếp thu ý tưởng của Robert Hooke.
Trong vật lý cổ điển, định luật vạn vật hấp dẫn giúp mô tả những vận động cơ bản của vũ trụ và Trái Đất. Dù sau đó, định luật này được hoàn thiện và thay thế bởi thuyết tương đối của Einstein, nó vẫn mô tả cách các đối tượng trong không gian, như những ngôi sao, hành tinh, tàu vũ trụ và con người, tương tác với nhau. Cho đến nay, các nhà nghiên cứu vẫn sử dụng phương trình của Newton để thiết kế quỹ đạo vệ tinh và đầu dò.
Định luật của Newton rất quan trọng vì nó mô tả cách lực hấp dẫn hoạt động ở mọi nơi, từ một quả bóng rơi xuống bề mặt Trái Đất đến quá trình tiến hóa của thiên hà và vũ trụ.
Số phức
Số phức rất cần thiết để mô tả hệ thống điện và một loạt thuật toán xử lý dữ liệu hiện đại.
Số phức được định nghĩa bằng sự kết hợp giữa số thực và số ảo, trong đó đơn vị của số ảo được các nhà toán học định nghĩa bằng căn bậc hai của -1. Số ảo ban đầu được nhà toán học nổi tiếng Girolamo Cardano chỉ ra, sau đó nó được mở rộng bởi Rafael Bombelli và John Wallis, cho đến khi được hoàn thiện bởi William Hamilton.
Các số ảo và số phức cho phép chúng ta tìm thấy nghiệm của bất cứ phương trình nào, trong khi phương trình có thể vô nghiệm đối với số thực. Các phép tính do đó có thể được mở rộng và không có giới hạn.
Hiện nay, hầu hết công nghệ hiện đại, từ đèn điện chiếu sáng cho đến máy ảnh kỹ thuật số đều cần số phức trong phép tính toán. Theo nhà toán học Ian Stewart, số phức rất cần thiết để mô tả hệ thống điện và một loạt thuật toán xử lý dữ liệu hiện đại.
Phương trình hàm sóng
Phương trình hàm sóng được ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống hiện đại.
Phương trình hàm sóng là phương trình vi phân mô tả hành vi của sóng, như rung động của dây đàn violin. Nó được nhắc đến lần đầu tiên bởi hai nhà khoa học Daniel Bournoulli và Jean D'Alembert vào thế kỷ 18.
Dựa trên phương trình hàm sóng, các đặc tính của sóng cơ học như động đất, sóng âm như tiếng đàn, và sóng lượng tử như lan truyền của sóng điện từ có thể được mô tả chính xác. Phương trình hàm sóng được ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống hiện đại, từ thiết kế âm thanh của nhà hát opera, mô phỏng cách hiệu ứng bom nổ trong phim ảnh đến tiên đoán ảnh hưởng của động đất.
Hệ phương trình điện từ Maxwell
Hệ phương trình của Maxwell đóng vai trò quan trọng trong mô tả điện từ học cổ điển.
Bản chất của hệ phương trình điện từ Maxwell mô tả mối quan hệ giữa điện trường và từ trường. Các quan sát về mối quan hệ giữa điện học và từ học đã được nhà khoa học Michael Faraday ghi chép lại và nhà vật lý James Clerk Maxwell chuyển chúng thành phương trình toán học.
Hệ phương trình của Maxwell đóng vai trò quan trọng trong mô tả điện từ học cổ điển. Bằng cách sử dụng hệ phương trình Maxwell, con người có thể hiểu quá trình lan truyền sóng điện từ trong không gian, sự phân bố năng lượng của chúng, và các đặc tính khác. Các ứng dụng liên quan tới ăng-ten thu phát sóng, radar, tivi, hay thông tin truyền thông hiện đại đều hoạt động dựa trên phương trình điện từ Maxwell.
Thuyết tương đối của Einstein
Thuyết tương đối tổng quát mô tả lực hấp dẫn như một hệ không gian - thời gian cong.
Thuyết tương đối của nhà vật lý Albert Einstein được khái quát bằng phương trình liên hệ trực tiếp giữa năng lượng và khối lượng của vật chất, trong đó tốc độ của ánh sáng là hằng số. Thuyết tương đối cho rằng tốc độ của ánh sáng là phổ quát và tốc độ của thời gian là khác nhau đối với những người di chuyển ở tốc độ khác nhau.
Thuyết tương đối tổng quát mô tả lực hấp dẫn như một hệ không gian - thời gian cong, đem đến cuộc cách mạng trong hiểu biết của con người về trọng lực kể từ định luật Newton. Thuyết tương đối tổng quát cũng làm thay đổi hiểu biết của chúng ta về nguồn gốc, cấu trúc và số phận cuối cùng của vũ trụ.
Phương trình Schrodinger
Phương trình Schrodinger đã đem lại cuộc cách mạng về quan điểm vật lý ở thế giới vi mô.
Phương trình Schrodinger chính là trái tim của cơ học lượng tử, mô tả trạng thái sóng của hạt vật chất, thay vì trạng thái hạt theo phương trình cổ điển Newton.
Bản chất lưỡng tính sóng - hạt của thế giới lượng tử được nhà vật lý Louis-Victor de Broglie chỉ ra vào năm 1924. Phương trình sóng của hạt lượng tử được Erwin Schrodinger thiết lập vào năm 1927 nhằm biểu diễn cách các hạt hạ nguyên tử và nguyên tử biến đổi theo thời gian.
Phương trình Schrodinger đã đem lại cuộc cách mạng về quan điểm vật lý ở thế giới vi mô, nơi hạt vật chất tồn tại trong những trạng thái xác suất hơn là ở vị trí xác định. Cùng với thuyết tương đối tổng quát, cơ học lượng tử là một trong hai lý thuyết khoa học thành công nhất trong lịch sử nhân loại cho tới thời điểm này, được ứng dụng rộng rãi trong công nghệ hiện đại, như năng lượng hạt nhân, chip bán dẫn, laser.