Các giáo viên luôn nhấn mạnh tầm quan trọng của việc tất cả trẻ em cần phải thành thạo đại số trước khi tốt nghiệp trung học phổ thông. Chính xác thì đại số là gì, nó có thật sự quan trọng như mọi người thường nói không và vì sao nhiều người thấy đại số là một môn học khó? Mời bạn đọc đến với loạt bài về đại số trong trường học qua góc nhìn của tiến sĩ toán Keith Devlin.
Tiến sĩ Keith Devlin hiện là giáo sư đại học Stanford, đã có hơn 80 nghiên cứu và 30 đầu sách về toán được xuất bản, trong số đó có những cuốn đã giành được các giải thưởng danh giá ở Mỹ như Pythagoras Prize, Carl Sagan Award, Peano Prize.
Vì sao toán khó với nhiều học sinh? cách nào làm cho toán dễ hơn?
Tư duy đại số, một phương pháp tư duy để xử lý các bài toán phức tạp nhanh chóng và chính xác hơn
Những bí mật này sẽ giúp trẻ nhỏ học bảng cửu chương và làm tính nhân dễ dàng hơn nhiều
Phần 1: Sự khác biệt giữa số học và đại số, khái quát về đại số trong trường học
Đại số không phải là "số học với các ký tự". (Ảnh: Лекториум).
Bài viết này chỉ tập trung vào số học và đại số trong trường học, khác với số học và đại số của các nhà toán học chuyên nghiệp có ý nghĩa tổng quát hơn nhiều.
Tuy việc trả lời những câu hỏi ở đầu bài có vẻ dễ dàng hơn là trả lời một câu hỏi tiêu biểu về đại số trong trường học nhưng đáng ngạc nhiên là, rất ít người có thể đưa ra những câu trả lời tốt.
Phải nói ngay từ đầu là đại số không phải là "số học với các ký tự". Ở cấp độ cơ bản nhất, số học và đại số là hai hình thức tư duy khác nhau về các vấn đề số.
Trước tiên, chúng ta hãy bàn về số học.
Về cơ bản, số học là việc sử dụng các phép tính cơ bản với số-cộng trừ nhân chia-để tính giá trị số của mọi thứ. Số học là bộ môn lâu đời nhất của toán học, ra đời từ thời văn minh Sumer cách đây 10.000 năm. Xã hội Sumer đã đạt tới một giai đoạn phức tạp là việc dùng tiền như một phương tiện đo lường sự giàu có của mỗi cá nhân và là trung gian trao đổi hàng hóa và dịch vụ. Sau cùng, các vật đại diện tiền tệ đã mở đường cho các dấu ấn trừu tượng trên các phiến đất sét mà ngày nay được chúng ta xem là những ký hiệu số đầu tiên của nhân loại. Theo thời gian, các ký hiệu số đó mang theo ý nghĩa trừu tượng của chúng: các con số. Nói cách khác, số phát sinh trước hết như là tiền tệ, và số học phát sinh như là một phương tiện để dùng tiền trong thương mại.
Chúng ta cần lưu ý rằng, việc đếm số đã có trước các con só và số học nhiều ngàn năm. Con người bắt đầu đếm đồ vật (chủ yếu là các thành viên gia đình, thú, mùa màng, vật sở hữu…) cách đây ít nhất 35.000 năm. Bằng chứng là các bộ xương khắc dấu "sổ sách" tính toán đã được phát hiện. Các "sổ sách" đó là cơ sở để các nhà nhân chủng học kết luận rằng, thời đó đã có sự ghi nhận các con số.
Những "sổ sách" tính toán bằng xương của người cổ đại là một sự ghi nhận, và cái mà chúng trực tiếp phản ánh là các đồ vật trong thế giới chứ không phải là các con số trừu tượng.
Một mảnh xương có niên đại 20.000 năm thể hiện "sổ sách" tính toán theo cách đếm tương ứng một - một của người thời đó (Ảnh: Thier).
Một lưu ý thứ hai là, ban đầu số học không được giải ở dạng thao tác trên các ký hiệu như cách mà chúng ta được dạy hôm nay. Biểu diễn số học bằng phương pháp hiện đại đã được phát triển qua nhiều thế kỷ, bắt đầu từ nửa đầu thiên niên kỷ 1 sau công nguyên ở Ấn Độ, được các thương gia Ả rập tiếp nhận trong nửa sau của thiên niên kỷ 1, và mãi tới thế kỷ 13 mới được du nhập vào châu Âu. Đó là lý do vì sao tên gọi ngày nay của số học là "số học Ả rập-Hindu". Trước khi tiếp nhận số học Ả rập-Hindu dựa trên ký hiệu (biểu tượng), các thương gia thực hiện các phép tính qua một hệ thống đếm bàn tay hay bàn tính khá phức tạp. Mãi cho tới thế kỷ 15, thao tác trên ký hiệu mới bắt đầu thay thế cách tính toán bằng lời văn được miêu tả trong những cuốn sách dạy số học trước đó.
Một di tích của số học Ấn Độ: phiến đá có khắc số 270 trong đền thờ cổ được xây dựng ở Ấn Độ vào năm 876 (Ảnh: Bill Casselman).
Nhiều người thấy học số học là một việc khó, nhưng hầu hết chúng ta đều thành công, hoặc ít nhất là vượt qua các bài kiểm tra, với điều kiện là chúng ta thực hành đủ nhiều. Những thứ giúp chúng ta có thể học số học là các khối xây dựng cơ bản của môn học, các con số phát sinh tự nhiên trong thế giới bao quanh chúng ta, khi chúng ta đếm, đo đạc, mua, làm ra đồ vật, dùng điện thoại, đến ngân hàng, kiểm tra điểm của đội bóng chày mình ưa thích... Các con số có thể là trừu tượng vì bạn không bao giờ thấy, cảm nhận, nghe hoặc ngửi được mùi của số 3, nhưng chúng gắn bó chặt chẽ với tất cả mọi vật cụ thể trong thế giới chúng ta đang sống.
Tuy nhiên, với đại số, bạn đã cách biệt thế giới hàng ngày thêm một bước. Các biến x và y mà bạn phải học cách xoay sở trong đại số là đại diện của các con số, và luôn luôn là các con số tổng quát chứ không phải các con số cụ thể. Và bộ não người không thích hợp với việc suy nghĩ về cấp độ trừu tượng đó một cách tự nhiên. Làm việc đó đòi hỏi khá nhiều nỗ lực và đào tạo.
Điều quan trọng mà chúng ta cần nhận thức được đó là, làm bài tập đại số là một cách suy nghĩ và cách suy nghĩ đó khác với cách nghĩ số học. Những công thức và phương trình bao gồm các biến x và y chỉ là một cách biểu diễn suy nghĩ đó trên giấy. Chúng (công thức và phương trình) không có tính đại số hơn một trang giấy ghi bản nhạc. Chúng ta cũng có thể làm bài tập đại số mà không cần các biểu tượng, hệt như khi bạn có thể chơi một nhạc cụ mà không cần đọc bản nhạc. Trên thực tế, các thương gia và những người khác cần đại số đã dùng nó trong 3.000 năm trước khi đại số ở dạng ký hiệu được nhà toán học Pháp François Viète giới thiệu vào thế kỷ 16. Ngày nay, phương pháp làm đại số ban đầu đó được gọi là "đại số hùng biện" hay "đại số bằng lời" để phân biệt với phương pháp đại số ký hiệu phổ biến hiện nay.
Tóm lại, chúng ta có thể hiểu sự khác biệt giữa số học và đại số trong trường học theo một vài cách như sau:
- Đại số là cách tư duy logic nhiều hơn là tư duy về các con số.
- Trong số học, bạn lập luận (tính toán) với các con số cụ thể, còn trong đại số thì bạn lập luận (logic) về các con số. Trọng tâm của đại số là các mối quan hệ, không phải các phép tính. Ví dụ, quan hệ a + b = c (c là hằng số) biểu diễn hai số a, b chưa biết có quan hệ với nhau bằng phép cộng, trong khi 3 + 5 = 8 cũng là quan hệ tương tự nhưng thường được xem là một cách biểu diễn số 8 để tính được 3 + 5 nhiều hơn.
- Số học là lập luận định lượng với các con số, đại số là lập luận định tính về các con số.
- Trong số học, bạn tính toán ra một con số bằng cách làm việc với các con số được cho trước. Trong đại số, bạn dùng một số hạng cho một số chưa biết và lập luận logic để xác định giá trị của nó.
Ví dụ sau đây sẽ giúp bạn hiểu rõ các khác biệt trên: bài toán "tôi 14, anh tôi lớn hơn tôi 4 tuổi" là một phương trình đơn giản x = 14 + 4, có thể giải ngay lập tức bằng cách nghĩ số học là thực hiện phép cộng, nhưng bài toán thứ hai này thì phức tạp hơn: "Anh tôi hơn tôi 2 tuổi, em gái tôi nhỏ hơn tôi 5 tuổi. Cô ấy 12 tuổi. Hỏi anh tôi bao nhiêu tuổi trong 3 năm nữa". Bài này cần tư duy nhiều hơn và có thể giải bằng nhiều cách: cách đầu tiên là phân tích và biểu diễn các mối quan hệ giữa các đại lượng bằng ký tự để ra được đáp số. Ví dụ, đặt k là tuổi của tôi hiện nay thì k - 5 = 12 và tuổi anh tôi trong 3 năm tới là (k + 2) + 3. Cách thứ hai là biểu diễn các ẩn số cần tìm trên trục số, cách thứ ba là đặt một ký tự khác cho số chưa biết (x - 3 - 2 - 5 = 12). Đại số trong bài toán này là tìm ra một phương pháp theo dõi đại lượng chưa biết bằng các phép toán khác nhau trên nó.
Một lưu ý nữa cần được hiểu rõ từ những khác biệt trên là, đại số không phải là làm bài tập số học với một hoặc nhiều ký tự biểu diễn các con số đã biết hoặc chưa biết.
Ví dụ bài tập sau đây là số học chứ không phải đại số: tìm giá trị số cho phương trình bậc 2 có dạng ax2 + bx + c = 0 bằng cách đặt giá trị số cho a, b, c trong công thức nghiệm quen thuộc bên dưới.
Ngược lại, việc khai triển phương trình trên ngay từ đầu để ra được công thức nghiệm là bài tập đại số. Tương tự, bài tập giải một phương trình bậc hai bằng phương pháp phần bù bình phương (chuyển đổi đa thức bậc hai ban đầu thành tổng của một bình phương và một hằng số nào đó) và nhân tử hóa (còn gọi là phân tích đa thức thành nhân tử, là việc phân tích phương trình thành tích của nhiều đa thức) thay cho việc dùng công thức nghiệm cũng là một bài tập đại số chứ không phải số học.
Ví dụ về các phương pháp biến đổi đa thức để giải phương trình:
Nhân tử hóa: 15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b(5b - 3a - b2)
Phần bù bình phương: x2 + 4x + 1 = (x + 2)2 - 3
Khi học sinh bắt đầu học đại số, các em không tránh khỏi việc cố gắng giải bài tập bằng tư duy số học. Đó là một việc làm tự nhiên với tất cả những nỗ lực mà các em dành ra để thành thạo số học trước đó, và phương pháp này được việc khi các bài tập đại số ban đầu là những bài đặc biệt đơn giản.
Trên thực tế, một học sinh càng giỏi số học bao nhiêu thì càng có thể tiến bộ xa hơn trong đại số bằng tư duy số học bấy nhiêu. Ví dụ, nhiều học sinh có thể giải phương trình bậc hai x2 = 2x + 15 bằng số học cơ bản mà hoàn toàn không dùng đại số (bằng cách đoán, thế số và lấy căn bậc hai).
Tuy nhiên có một nghịch lý là những học sinh đó cũng có thể thấy học đại số khó hơn là số học. Bởi vì ngoại trừ những ví dụ đơn giản nhất, trong tất cả mọi trường hợp, để làm đại số, bạn phải ngưng tư duy số học và học cách tư duy đại số.
(Còn tiếp)