Sự thú vị của những con số trong toán học ít ai biết tới

Các con số có vai trò rất quan trọng mọi lĩnh vực của đời sống con người. Việc phát minh và đặt tên các con số được tuân theo những quy luật thú vị.

Cùng khám phá những điều thú vị về các con số dưới một góc nhìn hoàn toàn mới để có những khám phá thú vị về toán học và các con số. Dẫu thế, khi đọc, mong bạn đừng cố hiểu, nếu bạn không thực sự tò mò, bởi chúng... khá hại não.

1. Cặp số thân thiết

Hai số tạo thành một cặp số thân thiết khi chúng tuân theo quy luật: Số này bằng tổng tất cả các ước của số kia (trừ chính số đó) và ngược lại. Cặp số thân thiện đầu tiên được tìm ra, và cũng được chứng minh là cặp "số thân thiết" nhỏ nhất, là cặp số: 220 và 284. Hãy thử phân tích một chút: Số 220 ngoài bản thân nó ra, nó còn có 11 ước số là 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55 và 110. Tổng của 11 ước số này vừa đúng bằng 284. Ngược lại, số 284 ngoài bản thân nó, nó còn 5 ước số khác là: 1, 2, 4, 71, 142, tổng của chúng cũng vừa đúng bằng 220.

Thế kỷ 17, nhà toán học Pháp Fecma tìm ra cặp "số thân thiết" thứ hai là: 17296 và 18416. Cũng thời điểm ấy, một nhà toán học Pháp khác tìm ra cặp số thứ ba là: 9363544 và 9437056. Điều khiến người ta kinh ngạc nhất là nhà toán học Thuỵ Sỹ nổi tiếng Ơ-le vào năm 1750 đã công bố một lúc 60 cặp số thân thiết. Giới toán học được một phen kinh hoàng, họ cho rằng: "Ơ-leđã tìm ra hết cả rồi". Nhưng không ngờ, một thế kỷ sau, một thanh niên nước Ý mới 16 tuổi tên là Baconi đã công bố một cặp số thân thiết vào năm 1866, nó chỉ lớn hơn 220 và 284 một chút, đó là cặp số 1184 và 1210. Những nhà toán học lớn trước đó đã tìm ra chúng, để cho cặp số chẳng mấy lớn này dễ dàng qua mặt.

Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các nhà toán học bằng máy tính đã kiểm tra tất cả các số trong phạm vi 1.000.000, tổng cộng tìm được 42 cặp số thân thiết. Hiện nay, số lượng cặp số thân thiết được tìm thấy đã vượt quá con số 1000. Thế nhưng liệu có phải số thân thiết là nhiều vô hạn? Chúng phân bố có quy luật không? Những vấn đề này tới nay vẫn còn bỏ ngỏ.

Với thời đại công nghệ hiện nay, chỉ bằng một thuật toán C++ không quá phức tạp, bạn có thể tìm được rất rất nhiều các cặp số thân thiết.

2. Cặp số hứa hôn

Không chỉ dừng lại ở mức thân thiết, tiến thêm một bước nữa, các nhà khoa học bắt đầu định nghĩa “số hứa hôn”.

Cặp số hứa hôn là hai số nguyên dương sao cho: tổng các ước của số này (không tính số đó) nhiều hơn số kia đúng 1 đơn vị. Nói cách khác, (m, n) là một cặp số đã đính hôn nếu s (m) = n + 1 và s (n) = m + 1, trong đó s (n) là tổng phần nổi của n: một điều kiện tương đương là đó σ (m) = σ (n) = m + n + 1, trong đó σ biểu thị chức năng tổng các ước.

Những cặp số hứa hôn đầu tiên đã được tìm ra: (48, 75), (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), (2024, 2295), (5775, 6128).

Người ta chứng minh được rằng, cặp số hứa hôn luôn gồm 1 số chẵn và 1 số lẻ ( có lẽ là tượng trưng cho 1 nam và 1 nữ).

3. Emirp

Nếu bạn đang cố tra từ trên trong tiếng anh thì chắc sẽ không tìm thấy đâu. Bởi nó là từ viết ngược của từ “Prime”.

Một emirp là một số nguyên tố mà khi đảo ngược vị trí các chữ số của nó, ta cũng được một số nguyên tố. Định nghĩa này không bao gồm các số nguyên tố xuôi ngược (như 151 hoặc 787), cũng không phải số nguyên tố 1 chữ số như 7.

Những emirps đầu tiên được tìm ra là: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157...

Tính đến tháng 11 năm 2009, các emirp lớn nhất được biết đến là 1.010.006 941.992.101 × 104.999 1, được tìm thấy bởi Jens Kruse Andersen trong tháng 10 năm 2007.

4. Số hoàn hảo

Trong lý thuyết số, một số nguyên dương được gọi là số hoàn hảo khi nó bằng tổng tất cả các ước nguyên dương của nó, trừ chính nó. Hoặc một định nghĩa khác, một số được gọi là hoàn hảo khi nó bằng nửa tổng các ước nguyên dương của nó (tính cả chính nó). Chẳng hạn, số hoàn hảo đầu tiên là 6, vì: 6 = 1 + 2 + 3, hoặc 6 = (1 + 2 + 3 + 6)/2.m

Về mặt lịch sử, bốn số hoàn hảo đầu tiên: 6, 28, 496 và 8128 đã được biết đến từ lâu trong toán học Hy Lạp do nhà toán học Nicomachus tìm ra dưới dạng: 2n−1(2n − 1):

• Khi n = 2: 21(22 − 1) = 6
• Khi n = 3: 22(23 − 1) = 28
• Khi n = 5: 24(25 − 1) = 496
• Khi n = 7: 26(27 − 1) = 8128.

Chú ý rằng: 2n − 1 đều là số nguyên tố trong mỗi ví dụ trên, Euclid chứng minh rằng công thức: 2n−1(2n − 1) sẽ cho ta một số hoàn chỉnh chẵn khi và chỉ khi 2n − 1 là số nguyên tố (số nguyên tố Mersenne).

Trong một bản thảo bằng văn bản giữa 1456 và 1461, một nhà toán học vô danh đã đưa ra số hoàn hảo thứ năm: 33.550.336. Năm 1588, nhà toán học người Ý Pietro Cataldi xác định (8589869056) và (137.438.691.328) là các số hoàn hảo thứ sáu và thứ bảy.

Euclid đã chứng minh rằng 2n−1(2n − 1): là một số hoàn hảo khi 2p-1 là số nguyên tố. Để 2n-1 là số nguyên tố, thì n cũng phải là số nguyên tố. Ví dụ: n = 2 => 2* (2^2-1) = 6; n= 3=> 2^2 (2^3-1) = 28. Số nguyên tố có dạng 2n-1 được gọi là số nguyên tố Mersenne, lấy theo tên của mười bảy tu sĩ Marin Mersenne, những người nghiên cứu lý thuyết số và số hoàn hảo. Cho đến thế kỷ 18 mà Leonhard Euler đã chứng minh: “mỗi nguyên tố Mersenne tạo ra một số hoàn hảo, và ngược lại, mỗi số hoàn hảo tương ứng với 1 số nguyên tố Mersenne”. Kết quả này thường được gọi là Định lý Euclid-Euler.

Tính đến tháng 2 năm 2013, 48 số nguyên tố Mersenne và do đó, 48 số hoàn hảo đã được biết đến. Số lớn nhất trong số này là 257.885.160 x (257.885.161-1) với 34.850.340 chữ số.

5. Số mạnh mẽ

Nguồn gốc của cái tên này xuất phát từ sự tích gót chân Achilles. Là một vị anh hùng chiến tranh đầy sức mạnh, chỉ có một điểm yếu duy nhất là gót chân. Có lẽ từ đây, người ta mới đưa ra phân biệt ba thuật ngữ: số hoàn hảo, số Achilles, và số mạnh mẽ.

Một số được gọi là số mạnh mẽ khi nó đồng thời vừa chia hết cho số nguyên tố và chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó. Chẳng hạn, số 25 là số mạnh mẽ, vì nó vừa chia hết cho số nguyên tố 5, và bình phương của 5 (tức 25). Như vậy, một số mạnh mẽ, cũng có thể trùng với một số hoàn hảo (số hoàn hảo được định nghĩ như trên).

Một số Achilles là số mạnh mẽ, nhưng không phải là số hoàn hảo.

Sau đây là một danh sách của tất cả các con số mạnh mẽ giữa 1 và 1000: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

6. Số kì quặc

Để hiểu số kì quặc là gì, ta cần đi qua hai định nghĩa: Số phong phú và số bán hoàn hảo.

Số phong phú là các số mà tổng các ước số của số đó (không kể chính nó) lớn hơn số đó. Ví dụ, số 12 có tổng các ước số (không kể 12) là 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12. Do đó 12 là một số phong phú.

Số bán hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng tất cả hoặc một số ước của nó. Như vậy, tập số bán hoàn hảo rộng hơn tập số hoàn hảo. Một số số bán hoàn hảo: 6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30 , 36 , 40…

Như vậy, giữa hai tập hợp số bán hoàn hảo và số phong phú có các phần tử chung.

Và cuối cùng, số kì quặc là gì? Một số là số kì quặc nếu nó là số phong phú nhưng không phải là số bán hoàn hảo. Nói cách khác, tổng các ước của nó là lớn hơn số đó, nhưng tổng của một số hoặc tất cả các ước không bao giờ bằng số đó.

Vài số đầu tiên trong tập hợp số kì quặc là: 70, 836, 4030, và 5830.

7. Số hạnh phúc

Một số hạnh phúc được xác định bởi quá trình sau đây:

Bắt đầu với bất kỳ số nguyên dương, thay thế số bằng tổng các bình phương các chữ số của nó, và lặp lại quá trình cho đến khi số bằng 1 (nơi mà nó sẽ ở lại), hoặc nó lặp vô tận trong một chu kỳ mà không bao gồm 1.

Những con số mà quá trình này kết thúc trong 1 là những con số hạnh phúc, trong khi những người không kết thúc trong 1 là những con số không hài lòng (hoặc số buồn).

Hãy cùng thử với số 44:

+ Thứ nhất, 4 ^ 2 + 4 ^ 2 = 16 + 16 = 32.

+ Tiếp theo: 3 ^ 2 + 2 ^ 2 = 9 + 4 = 13.

+ Và một lần nữa: 1 ^ 2 + 3 ^ 2 = 1 + 9 = 10.

+ Cuối cùng: 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = 1 + 0 = 1.

Đó là một số hạnh phúc.

Điều thú vị là số hạnh phúc là rất phổ biến, có 143 số từ 0 đến 1000. Và số hạnh phúc lớn nhất với không có chữ số lặp lại là: 986.543.210. Đó là một con số hạnh phúc thực sự.

8. Số bất khả xâm phạm

Cái tên kì quặc này được đặt cho những số “không thể” viết dưới dạng tổng tất cả các ước của một số nguyên dương bất kì (không tính số nguyên dương đó).

Chẳng hạn, 4 không phải là số bất khả xâm phạm vì 4= 3+1. Trong đó 3 và 1 là tất cả các ước của 9. Còn 5 là số bất khả xâm phạm vì cách duy nhất viết 5 = 4+1. Nếu bạn lý luận đây là tổng ước của 4 thì bạn nhầm. Vì tổng các ước của 4 phải là: 1+2=3.

Các số bất khả xâm phạm đầu tiên: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290…

9. Số tự mãn

Số tự mãn là những số bằng tổng các mũ bậc ba của mỗi chữ số của nó. VD:

153 = 1 ^ 3 + 5 ^ 3 + 3 ^ 3.
370 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 0 ^ 3.
371 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 1 ^ 3.
407 = 4 ^ 3 + 0 ^ 3 + 7 ^ 3..

Các con số, khi được đặt tên bởi các nhà khoa học, chính bản thân họ cũng nhận ra sự phù phiếm của chúng. Nhà toán học anh, GH Hardy thậm chí đã công bố trong cuốn sách "Lời xin lỗi của toán học": "Đây là những khái niệm kỳ lạ, rất thích hợp cho các cột câu đố và có khả năng để giải trí, nhưng không có gì hấp dẫn đối với các nhà toán học". Dẫu sao, cũng xin đưa đến người đọc một góc nhìn mới về toán học.