Suốt 4.000 năm chúng ta đã bỏ quên một cách giải phương trình bậc hai cực dễ và sáng tạo

Bạn không còn phải nhớ công thức, chỉ cần vài bước suy luận đơn giản mà thôi.

Ba ngàn năm trước Công Nguyên, một viên quan dưới thời Babylon cổ đại đến gặp người nông dân và nói rằng thuế lúa mì của mùa vụ này sẽ tăng lên. Lẽ dĩ nhiên, những người nông dân sẽ phải tăng diện tích thửa ruộng của mình để có thể nộp thêm thuế.

Khi một trong số họ muốn mở rộng cả chiều dài và chiều rộng thửa ruộng ra cùng một khoảng bằng x, người nông dân này vấp phải một phương trình dạng: Ax2 Bx C = 0. Đó có thể là lần đầu tiên mà con người phải đối mặt với một phương trình bậc hai.

Trong quá khứ, phương trình bậc hai đã được sử dụng để tính toán những diện tích khổng lồ.

Xuyên suốt lịch sử, những bài toán đòi hỏi con người phải giải phương trình bậc hai đã xuất hiện ở mọi nền văn minh, từ Babylon, Ai Cập, Ấn Độ cho tới Trung Quốc. Trong quá khứ, phương trình bậc hai đã được sử dụng để tính toán những diện tích khổng lồ - biểu tượng của văn minh, từ những bậc thang của kim tự tháp cho tới những mái ngói đền thờ, lăng tẩm.

Nhờ những ứng dụng từ cơ bản tới vĩ đại, phương trình bậc hai ngày nay được đưa vào mọi chương trình toán học phổ thông trên thế giới. Thật đáng tiếc, cách nó được dạy khá máy móc. Tất cả các giáo trình toán trung học đều bắt học sinh thuộc lòng một công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát:

Đây thực sự rất khó nhớ và không mang tính trực quan chút nào. Giải phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm gần như là một bài tập trí nhớ, thay vì rèn luyện suy luận. Nếu bạn có thể nhớ công thức nghiệm, về cơ bản bạn sẽ giải được tất cả các phương trình bậc hai. Chỉ có điều, toán học không sử dụng suy luận thật nhạt nhẽo và vô nghĩa.

Đó là lý do mà Po-Shen Loh, một nhà toán học tại Đại học Carnegi Mellon, huấn luyện viên đội tuyển toán Olympic Hoa Kỳ muốn tìm ra một lời giải đơn giản, trực quan và mang tính suy luận hơn cho phương trình bậc hai. Và anh ấy đã thành công.

Po-Shen Loh, huấn luyện viên đội tuyển toán Olympic Hoa Kỳ.

Năm 2019, Po-Shen Loh xuất bản một bài báo khoa học chia sẻ về phương pháp giải phương trình bậc hai mới của anh. Nó hoàn toàn vượt ra khỏi sự gò bó của việc áp dụng công thức nghiệm, không yêu cầu học sinh phải nhớ công thức một cách máy móc, mà vẫn có thể giải được mọi phương trình bậc hai, thậm chí với cả nghiệm phức.

Hãy cùng tìm hiểu đâu là cách Po-Shen Loh đã sử dụng:

1. Giả sử, ta có phương trình bậc hai như sau: x2 Bx C = 0

2. Với một chút quan sát hoặc nhớ lại định lý Viete, ta có thể thấy mọi đa thức vế trái đều có thể phân tích thành dạng:

Nếu vế trái bằng 0, phương trình này sẽ có nghiệm x =R hoặc x = S. Cơ bản, đó chính là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho.

Bây giờ, khi nhân bung vế phải để phá ngoặc, ta sẽ có:

Phương trình này tương đương với -B = R S và C = R.S. Không có gì đặc biệt, nó chỉ giống với những gì mà nhà toán học người Pháp Viete đã rút ra được từ thế kỷ 16. Nhưng bước sau này là sự sáng tạo của Po-Shen Loh, khi anh đã dùng cùng một cách mà các nhà toán học thời Babylon cổ đại đã dùng để giải tiếp phương trình.

3. Po-Shen Loh nhận thấy nếu -B là tổng của R và S, thì trung bình cộng của R và S sẽ là -B/2. Ta gọi z là giá trị tuyệt đối của hiệu số giữa R và S với số trung bình cộng. Khi đó, ta có thể biểu diễn R và S theo -B/2 và chỉ còn duy nhất z là đại lượng chưa biết:

Sau đó, chúng ta đơn giản là chuyển vế rồi lấy căn bậc hai để tìm ra z:

4. Lắp z trở lại R và S, ta sẽ được 2 nghiệm của phương trình ban đầu là:

TADA! Nhìn thì có vẻ cũng có chút phức tạp. Nhưng hãy thử áp dụng vào một phương trình bậc hai để xem nó đơn giản đến thế nào. Ta có thể dùng đồ thị để hình dung về phương pháp của Po-Shen Loh:

Giả sử ta có hàm số y = x2 – 4x -5. Hàm số này được thể hiện là một parabol trên đồ thị bên phải. Ở hai điểm giao của parabol với trục hoành, ta có x2 – 4x -5 =0, chính là một phương trình bậc hai. Hoành độ của 2 giao điểm chính là nghiệm của phương trình này: R và S.

Theo định lý Viete, R S = 4, trung bình cộng của R và S là 2.

z là nửa khoảng cách giữa R và S, là đại lượng chưa biết thì R =2-z và S = 2 z.

Áp dụng tiếp định lý Viete, ta có R.S = -5. Nghĩa là (2-z). (2 z)= -5.

Nhân phá ngoặc, ta được 4-z2=-5

Tương đương với z2=9, z=3.

Vậy nghiệm của phương trình đầu tiên là R =2-3= -1 và S = 2 3= 5.

Tiếp tục thử cách giải của Po-Shen Loh với một phương trình bậc hai khác có nghiệm phức, ta thấy nó vẫn đúng. Giả sử phương trình lúc này là: x2 -2x 4 = 0.

Khi đã quen với phương pháp của Po-Shen Loh, ta có thể nhẩm nhanh phương trình này sẽ có 2 nghiệm: -B/2 ± z. Ở đây, B =-2 nên ta có 2 nghiệm là 1 ± z. Vì tích hai nghiệm phải bằng C =4, ta lại có:

Vậy, cuối cùng hai nghiệm của phương trình ban đầu là:

Cùng một phương trình này, nếu giải bằng công thức nghiệm sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều. Do đó, phương pháp của Po-Shen Loh vừa đơn giản, mang tính suy luận lại trực quan. Nó cũng có thể áp dụng với mọi phương trình bậc hai mà bạn gặp.

Nếu phương trình có dạng Ax2 Bx C = 0, bạn chỉ việc chia tất cả các hệ số cho A để được phương trình mới dạng x2 (B/A) x C/A = 0 và áp dụng cách giải của Po-Shen Loh như bình thường.

Một phương pháp sáng tạo hơn khi giải phương trình bậc hai.

Năm 2019, ngay khi bài báo khoa học của Po-Shen Loh được phát hành trên arXiv.org, một loạt các giáo viên toán đã phải ngạc nhiên về lời giải này. Điều thú vị là khi lời giải của Po-Shen Loh được giới thiệu cho học sinh, tất cả đều có thể dễ dàng áp dụng nó với sự thích thú hơn hẳn so với công thức nghiệm.

Câu hỏi là tại sao từ trước đến nay chưa có ai tình cờ tìm ra phương pháp này và chia sẻ nó rộng rãi? Trên thực tế, Po-Shen Loh thừa nhận cách giải của mình chỉ là sự kết hợp giữa định lý Viete với một phương pháp của người Babylon có từ hàng ngàn năm trước.

Tuy nhiên, anh cho biết từ trước đến nay chưa có ai từng kết hợp hai lời giải này lại với nhau, để dạy cho học sinh một cách tư duy đơn giản nhưng hết sức logic khi đi tìm nghiệm của phương trình bậc hai.

Trong bài báo, Po-Shen Loh cho biết mình đã tìm lại tất cả các tài liệu ghi lại phương pháp giải phương trình bậc hai của người Babylon cổ đại, Trung Quốc, Hy Lạp, Ấn Độ và Ả Rập cũng như các nhà toán học hiện đại từ thời Phục hưng cho đến ngày nay.

Kết quả cho thấy không ai trong số họ từng giải phương trình bậc hai theo cách của anh, mặc dù định lý Viete và các khai triển của người Babylon đã tồn tại cách đây hàng trăm, hàng ngàn năm. Vâỵ thì tại sao bây giờ phương pháp này mới được phát hiện?

Po-Shen Loh cho biết có thể đó là do cách tiếp cận của chúng ta với phương trình bậc hai. Các cách giải hiện đại, điển hình là dùng công thức nghiệm có thể chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm hay vô nghiệm. Nó khiến tính chất nghiệm bị bỏ qua một bên, chúng ta không mấy khi để ý rằng tổng hai nghiệm của phương trình bậc hai nếu có sẽ bằng -B còn tích của chúng bằng đúng hệ số C.

Ngoài ra, phương trình bậc hai bây giờ cũng chỉ gắn liền với các bài tập trong sách giáo khoa. Học sinh sẽ được dạy đi dạy lại các công thức, cách áp dụng chúng một cách máy móc.

Không giống với trong quá khứ, người Babylon sử dụng phương trình bậc hai vào các bài toán thực tế mà họ gặp phải trong đời sống. Giải phương trình khi đó nhằm tìm ra đáp án, hay giải pháp cho vấn đề họ đang gặp phải.

Vì thế, việc tìm ra nghiệm mới được chú trọng, và để làm được điều đó, tổ tiên của chúng ta trong quá khứ đã có nhiều phương pháp sáng tạo hơn.

Po-Shen Loh nghĩ toán học có thể hấp dẫn học sinh hơn, nếu nó trực quan và trở nên đơn giản.

Bây giờ, sau khi phát hiện ra cách giải mới cho phương trình bậc hai, Po-Shen Loh đã ứng dụng nó vào ngay trong các chương trình giảng dạy của mình. Anh hiện vẫn đang là một nhà nghiên cứu toán học, một huấn luyện viên cho đội tuyển Olympic toán Hoa Kỳ.

Nhưng điều tuyệt vời nhất đối với Po-Shen Loh có lẽ là sự đón nhận rất hào hứng của các học sinh với cách giải mới này. Nhiều học sinh cho biết phương pháp giải này rất hữu ích. Với nó, họ đã có thể hình dung về phương trình bậc hai một cách trực quan hơn, chứ không còn là những con số và công thức khô khan nữa.

Po-Shen Loh cho biết cách giải này cũng nhấn mạnh một triết lý trong phương pháp giảng dạy của anh. "Tôi nghĩ nếu mình hay ai đó có thể làm cho toán học trở nên sống động trở lại, làm sao để mọi người bất kể ai cũng có thể hiểu và hấp thụ nó, thì lợi ích từ việc làm này sẽ rất lớn".

Một khi học sinh thấy toán học thú vị và hiểu được nó, họ sẽ không còn tâm lý sợ toán hay ngại toán nữa. Những người trước đây từng nghĩ rằng mình dốt toán hay đó không phải môn học dành cho mình cũng sẽ tự tin hơn khi đối mặt với môn học này.

Rốt cuộc, toán học sau hàng ngàn năm vẫn rất sống động và hấp dẫn. Chỉ là cách chúng ta đang dạy và học toán đã biến nó thành một môn học khô khan và áp lực mà thôi.

• 9 điều về bản thân mà chúng ta không hề biết
• Có gì bên trong con đập Tam Hiệp lớn nhất thế giới?
• Vệt sáng đỏ rực hình lá cờ ở trung tâm dải Ngân Hà